На сегодня примеров вейвлет-анализа так много, что я ограничусь только двумя примерами, понятные всем нам, простым смертным:)
1. Сжатие данных
Сжимать те или иные данные приходится, например, если надо хранить их в компьютере с ограниченной памятью или же если требуется передать большой объем информации через линию связи с ограниченной пропускной способностью.
Хорошо известен пример, когда ФБР использовало вейвлет-анализ для сжатия информации, в результате чего удалось хранить большое количество отпечатков пальцев в сравнительно небольших компьютерах, что в свою очередь позволило сэкономить заметные средства.
Подход к решению проблемы существенно зависит от тех требований, которые предъявляются к конечному результату. Можно представить себе, по крайней мере, три ситуации. Если пытаться сохранить качество изображения (картины, фильма и т.п.), т.е. сделать изображение практически неотличимым от начального, сжатие не будет очень сильным.
Это потребуется, к примеру, тогда, когда нужно, чтобы даже эксперты не смогли отличить сжатую копию фильма от оригинала при показе на двух экранах, расположенных рядом.
Другие условия возникают, когда, наоборот, требуется возможно более сильное сжатие, при котором сигнал (объект) удается, тем не менее, еще распознать. Например, это требуется при передаче информации по линиям, допускающим лишь ограниченный объем ее.
Наконец, может оказаться необходимым всю процедуру анализа и синтеза проделывать за возможно кратчайшее время, когда важно передавать информацию немедленно и по возможности дешевле.
В разных ситуациях требуется выбрать разные вейвлеты для оптимизации всей процедуры анализа и синтеза. В любом случае вейвлет-анализ имеет преимущество по сравнению с методами кодирования, использующими преобразование Фурье.
Любое изображение, вводимое в компьютер, оцифровывается и хранится в нем в виде так называемой битовой карты (bitmap) или, иначе говоря, матрицы, каждый элемент которой описывает цвет точки на исходном изображении.
Количество элементов матрицы (точек изображения) зависит от разрешения, выбранного при оцифровке. Именно битовая карта используется для последующего воспроизведения «картинки» на экране, печатающем устройстве и т.п. Однако хранить ее в таком виде невыгодно из-за использования большого количества компьютерной памяти.
Поэтому в настоящее время разработаны многочисленные алгоритмы сжатия битовой карты, эффективность которых зависит от свойств изображения . Все эти алгоритмы делятся на две группы:
сжатие без потери (когда исходная битовая карта полностью восстанавливается в результате процедуры декодирования) и с потерей информации. В более общем применении алгоритмы первой группы часто называются архивацией данных.
В качестве иллюстрации рассмотрим более подробно алгоритм сжатия изображений с потерей информации. Потеря информации в данном случае означает, что восстановленная картинка не будет абсолютно точно совпадать с исходной, однако различия будут практически незаметны для человеческого глаза.
В настоящее время большинство хранящихся на компьютерах изображений (в том числе используемых в Интернете) с непрерывным цветовым тоном сжимается с помощью алгоритма JPEG.
Основные стадии этого алгоритма следующие. Изображение разбивается на шаблоны 8×8 точек. Для каждого шаблона (матрицы) выполняется дискретное косинус-преобразование. Далее из получившихся частот с помощью специальной весовой таблицы отбираются наиболее существенные для визуального восприятия.
Эта процедура называется квантованием и является единственным этапом, на котором происходит потеря информации. Далее матрица отобранных частот представляется компактным образом и кодируется так называемым энтропийным методом (хаффмановским или арифметическим).
На этом рисунке показаны оригинальное изображение и восстановленные после сжатия по JPEG-алгоритму и по вейвлет-алгоритму.
Легко видеть, что при практически одинаковых размерах закодированных файлов качество «вейвлет-картинки» существенно выше (крайний справа волк).
Требование одинаковости качества приводит к выигрышу по размерам файла в 1,5-2 раза в случае вейвлет-алгоритма, что может оказаться существенным для передачи изображений, особенно если пропускная способность передающей линии ограничена.
2. Клетки крови
Распознавание различных форм биологических объектов представляет собой еще одну задачу, которую можно решать с помощью вейвлет-анализа.
Автоматический поиск, надежность определения разных форм клеток и высокая скорость обработки сигнала достигаются при компьютерном вейвлет-анализе. Основная идея метода заключается в том, что на определенной шкале разрешения вейвлет-анализ четко выделяет границы клеток крови. Это позволяет классифицировать их.
Этот снимок клеток крови, снятый с микроскопа (слева) довольно плохого качества был подвергнут вейвлет-анализу, и полученный вейвлет-образ этого снимка дает намного более четкое изображение границ клеток.
Как известно, эритроциты разных типов отличаются своими очертаниями. По их геометрической форме можно определить, к какому типу относятся те или иные клетки, на какие заболевания организма они указывают.
Поэтому важно уметь распознавать клетки, отличающиеся своими очертаниями. С помощью микроскопа проводится традиционная фиксация всех клеток в сухом мазке крови и записанные на компьютер данные подвергаются вейвлет-анализу.
Случайные резкие неоднородности в отдельных точках контура клетки, вызванные, скажем, либо каким-то дефектом изображения, либо прилипшей грязью и т.п., могут помешать правильной идентификации типа клетки.
Чтобы избежать этого, разработана процедура сглаживания контура, при которой такие точки обходятся, но при этом не теряются основные особенности, характерные для конкретного типа клеток.
Вся процедура занимает мало времени, потому что проходит в автоматическом режиме с помощью программ, без какого-либо вмешательства человека.
Красота математического аппарата вейвлет-преобразования и его практическая польза привлекают к себе внимание исследователей, работающих как над фундаментальными, так и над чисто прикладными проблемами. Более того, уже появляются результаты, имеющие коммерческий выход.
Исп. литература: публикации журнала Успехи физических наук.