Когда я учился в старших классах (средняя школа № 22 г. Архангельск) регулярно ходил в физико-математическую школу при нашем пединституте. Желающие повысить свои знания разбивались на две группы – кому, что ближе по душе математика или физика. Я выбрал физику.
Занятия были бесплатные, ходить и слушать мог любой городской школьник. Учебу проводили лучшие преподаватели и строили они занятия по принципу – сначала теория, потом практика, т.е. давали задания на дом.
В последующем шел разбор решения на примере того, кто с заданием успешно справился. Ряд задач, их обычно преподаватели называли изюминками, были в полном объеме не по зубам никому.
Такие решения разбирались подробно лектором. В них не требовалось знание элементов высшей математики, ни каких интегралов и дифференциалов, но (!), изюминка была в каждой.
В своих записных книжках я нашел несколько таких задач с их решениями. Предлагаю их читателям, посетившим мой блог. Кто не хочет сразу заглядывать в ответ, может на досуге хорошо поломать голову.
Не хотите сами поупражняться, закиньте сие своим детям старшеклассникам, всё будет разнообразие им к предстоящим ЕГЭ.
Итак, вот эти задачки:
1. За какой (по порядку величины) промежуток времени Земля получает от Солнца энергию, сравнимую с энергией морских волн?
1. Решение:
Пусть h — высота волны от основания, или подошвы, до гребня. Если y – высота водной поверхности в произвольной точке от средней поверхности, то потенциальная энергия на единицу водной поверхности составляет αgy2/2 (Прим.*). При усреднении по широкому диапазону длин волн получаем y2=h2/8, поэтому потенциальная энергия на единицу водной поверхности, усреднённая по большой области, равна αgh2/16.
С учётом кинетической энергии эта величина удваивается, и полная энергия на единицу водной поверхности оказывается равной αgh2/8. При h=2 м полученная оценка даёт среднюю плотность энергии 5000 Дж/м2. В любой момент времени Солнце освещает 1/4 поверхности Земли, причём плотность мощности составляет 1 кВт/м2. Если считать, что океан занимает около 1/2 поверхности Земли и высоту волн принять равной h=2 м, то энергия морских волн эквивалентна энергии солнечного света, поглощаемой земной поверхностью за 10 с.
2. Как быстро может вращаться, не разлетаясь на части, капля воды массой µ 10 мг? (Угловую скорость требуется оценить лишь по порядку величины. Аэродинамическими силами пренебречь.)
2. Решение:
Рассмотрим изолированную сферическую каплю воды радиусом а, свободно вращающуюся с угловой скоростью w0. Её момент инерции I0 равен (8π/15)µa5, а кинетическая энергия равна (1/2) I0w20. Предположим, что капля, свободно вращаясь, деформируется и принимает другую форму с моментом инерции I>I0. Момент импульса капли сохраняется, а её кинетическая энергия уменьшается, поскольку часть энергии затрачивается на увеличение площади поверхности капли с 4 π а2 до А. Если S – поверхностное натяжение (для воды S=50 эрг/см2), то приращение поверхностной энергии составляет (А-4 πа2)S. Предположим теперь, что наша капля распадается на две сферические капли меньшего радиуса, вращающиеся вокруг общей касательной. Ясно, что такая двойная система находится на грани распада: поверхностная энергия увеличилась в 2 1/3, а момент инерции увеличился в 7/25/3 ≈ 2,205 раза. Если убыль кинетической энергии в точности компенсирует приращение поверхностной энергии, то угловая скорость w0 удовлетворяет соотношению w20=21,5 S/M, где M – масса исходной сферической капли. Пример с распадом сферической капли на две соприкасающиеся сферические капли меньшего радиуса показывает, что даже незначительное увеличение площади поверхности (в нашем примере лишь на 21/3 – 1 ≈ 26%) может приводить к сильному изменению формы. (При любой малой деформации сферы площадь поверхности возрастает на величину второго порядка.) Для капли массой 10 мг приведённое выше соотношение даёт угловую скорость w=330 с-1 ≈ 50 оборотов/с. Для более точной оценки необходим анализ устойчивости поверхности относительно различных типов деформаций, а также более тщательный (и, следовательно, более громоздкий) расчёт.
3. Энергия для выплавки алюминия поступает на завод по 50-километровой линии электропередачи напряжением 100 кВ. Сколько времени потребуется для того, чтобы выплавить такое же количество алюминия, какое пошло на изготовление линии электропередачи: час, сутки, неделя, месяц или год?
3. Решение:
Сопротивление алюминия несколько больше сопротивления меди. Примем его равным 3*10 -8 Ом/м. Число атомов в единичном объеме для всех твёрдых тел примерно одинаково и составляет 1029 атомов /м3. При выплавке алюминия расход энергии из-за омических потерь при электролизе составляет 15 эВ на атом, или 2,4*1011 Дж/м3. Пусть линия электропередачи представляет собой двухпроводную линию постоянного тока и пусть А – сечение проводника в м2. На изготовление такой линии электропередачи понадобилось бы 105А м3 алюминия, а её сопротивление было бы равно
3*10-3/А Ом. Предположим, что 10% энергии теряется по пути (предположение о значительно больших или значительно меньших потерях при нормальной работе линии электропередачи было бы неразумно). Тогда при напряжении 100 кВ на входе нагрузка на выходе линии потребляла бы мощность 3*1011 А Вт, что эквивалентно 3 МВт на кубический метр алюминия. Следовательно, для выплавки количества алюминия, необходимого для изготовления линии электропередачи, понадобилось бы около 2,4*1011/ (3*106) ≈ 8*104 с, т.е. около одних суток. Заметим, что величина А сечения осталась неопределённой. Для оценки А можно было бы использовать различные технико-экономические аргументы.
Прим.* Здесь для читателя маленькое неудобство, за это извините. Дело в том, что при переносе формул из программы Word 2007 на страничку поста, формулы с нижними, верхними индексами, степенями и т.п. (а без них никак) существенно искажаются. Чтоб не мудрить с отыскиванием для устранения этой проблемки того или иного плагина решил приложить картинку формул, выстроенных в каждой задаче в последовательном порядке
